Algèbre linéaire Exemples

\frac{1}{2} x - \frac{1}{3} y = 2

$\frac{1}{2} x - \frac{1}{3} y = 2$ ,

\frac{3}{4} x + 2 y = - 12

$\frac{3}{4} x + 2 y = - 12$

Étape 1

Déterminez le

A X = B

$A X = B$ à partir du système d’équations.

[\begin{matrix} \frac{1}{2} & - \frac{1}{3} \frac{3}{4} & 2 \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} x y \end{matrix}] = [\begin{matrix} 2 - 12 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & - \frac{1}{3} \\ \frac{3}{4} & 2 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 2 \\ - 12 \end{array}]$

Étape 2

Trouvez l’inverse de la matrice des coefficients.

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Étape 2.1

The inverse of a

2 \times 2

$2 \times 2$ matrix can be found using the formula

\frac{1}{a d - b c} [\begin{matrix} d & - b - c & a \end{matrix}]

$\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where

a d - b c

$a d - b c$ is the determinant.

Étape 2.2

Find the determinant.

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Étape 2.2.1

Le déterminant d’une matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

\frac{1}{2} \cdot 2 - \frac{3}{4} (- \frac{1}{3})

$\frac{1}{2} \cdot 2 - \frac{3}{4} (- \frac{1}{3})$

Étape 2.2.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun de

2

$2$ .

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Étape 2.2.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} \cdot 2 - \frac{3}{4} (- \frac{1}{3})$

Étape 2.2.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$1 - \frac{3}{4} (- \frac{1}{3})$

Étape 2.2.2.1.2

Annulez le facteur commun de

$3$ .

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Étape 2.2.2.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans

$- \frac{3}{4}$ dans le numérateur.

$1 + \frac{- 3}{4} (- \frac{1}{3})$

Étape 2.2.2.1.2.2

Placez le signe négatif initial dans

$- \frac{1}{3}$ dans le numérateur.

$1 + \frac{- 3}{4} \cdot \frac{- 1}{3}$

Étape 2.2.2.1.2.3

Factorisez

$3$ à partir de

$- 3$ .

$1 + \frac{3 (- 1)}{4} \cdot \frac{- 1}{3}$

Étape 2.2.2.1.2.4

Annulez le facteur commun.

$1 + \frac{3 \cdot - 1}{4} \cdot \frac{- 1}{3}$

Étape 2.2.2.1.2.5

Réécrivez l’expression.

$1 + \frac{- 1}{4} \cdot - 1$

Étape 2.2.2.1.3

Associez

$\frac{- 1}{4}$ et

$- 1$ .

$1 + \frac{- - 1}{4}$

Étape 2.2.2.1.4

Multipliez

$- 1$ par

$- 1$ .

$1 + \frac{1}{4}$

Étape 2.2.2.2

Écrivez

$1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{4}{4} + \frac{1}{4}$

Étape 2.2.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4 + 1}{4}$

Étape 2.2.2.4

Additionnez

$4$ et

$1$ .

$\frac{5}{4}$

Étape 2.3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Étape 2.4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{\frac{5}{4}} [\begin{array}{c} 2 & \frac{1}{3} \\ - \frac{3}{4} & \frac{1}{2} \end{array}]$

Étape 2.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$1 (\frac{4}{5}) [\begin{array}{c} 2 & \frac{1}{3} \\ - \frac{3}{4} & \frac{1}{2} \end{array}]$

Étape 2.6

Multipliez

$\frac{4}{5}$ par

$1$ .

$\frac{4}{5} [\begin{array}{c} 2 & \frac{1}{3} \\ - \frac{3}{4} & \frac{1}{2} \end{array}]$

Étape 2.7

Multipliez

$\frac{4}{5}$ par chaque élément de la matrice.

$[\begin{array}{c} \frac{4}{5} \cdot 2 & \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{3} \\ \frac{4}{5} (- \frac{3}{4}) & \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{2} \end{array}]$

Étape 2.8

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 2.8.1

Multipliez

$\frac{4}{5} \cdot 2$ .

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Étape 2.8.1.1

Associez

$\frac{4}{5}$ et

$2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{4 \cdot 2}{5} & \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{3} \\ \frac{4}{5} (- \frac{3}{4}) & \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{2} \end{array}]$

Étape 2.8.1.2

Multipliez

$4$ par

$2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{8}{5} & \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{3} \\ \frac{4}{5} (- \frac{3}{4}) & \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{2} \end{array}]$

Étape 2.8.2

Multipliez

$\frac{4}{5} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Étape 2.8.2.1

Multipliez

$\frac{4}{5}$ par

$\frac{1}{3}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{8}{5} & \frac{4}{5 \cdot 3} \\ \frac{4}{5} (- \frac{3}{4}) & \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{2} \end{array}]$

Étape 2.8.2.2

Multipliez

$5$ par

$3$ .

$[\begin{array}{c} \frac{8}{5} & \frac{4}{15} \\ \frac{4}{5} (- \frac{3}{4}) & \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{2} \end{array}]$

Étape 2.8.3

Annulez le facteur commun de

$4$ .

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Étape 2.8.3.1

Placez le signe négatif initial dans

$- \frac{3}{4}$ dans le numérateur.

$[\begin{array}{c} \frac{8}{5} & \frac{4}{15} \\ \frac{4}{5} \cdot \frac{- 3}{4} & \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{2} \end{array}]$

Étape 2.8.3.2

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} \frac{8}{5} & \frac{4}{15} \\ \frac{4}{5} \cdot \frac{- 3}{4} & \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{2} \end{array}]$

Étape 2.8.3.3

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} \frac{8}{5} & \frac{4}{15} \\ \frac{1}{5} \cdot - 3 & \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{2} \end{array}]$

Étape 2.8.4

Associez

$\frac{1}{5}$ et

$- 3$ .

$[\begin{array}{c} \frac{8}{5} & \frac{4}{15} \\ \frac{- 3}{5} & \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{2} \end{array}]$

Étape 2.8.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$[\begin{array}{c} \frac{8}{5} & \frac{4}{15} \\ - \frac{3}{5} & \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{2} \end{array}]$

Étape 2.8.6

Annulez le facteur commun de

$2$ .

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Étape 2.8.6.1

Factorisez

$2$ à partir de

$4$ .

$[\begin{array}{c} \frac{8}{5} & \frac{4}{15} \\ - \frac{3}{5} & \frac{2 (2)}{5} \cdot \frac{1}{2} \end{array}]$

Étape 2.8.6.2

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} \frac{8}{5} & \frac{4}{15} \\ - \frac{3}{5} & \frac{2 \cdot 2}{5} \cdot \frac{1}{2} \end{array}]$

Étape 2.8.6.3

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} \frac{8}{5} & \frac{4}{15} \\ - \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \end{array}]$

Étape 3

Multipliez à gauche les deux côtés de l’équation de la matrice par la matrice inverse.

$([\begin{array}{c} \frac{8}{5} & \frac{4}{15} \\ - \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} \frac{1}{2} & - \frac{1}{3} \\ \frac{3}{4} & 2 \end{array}]) \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{8}{5} & \frac{4}{15} \\ - \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 2 \\ - 12 \end{array}]$

Étape 4

Toute matrice multipliée par son inverse est toujours égale à

$1$ .

$A \cdot A^{- 1} = 1$ .

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{8}{5} & \frac{4}{15} \\ - \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 2 \\ - 12 \end{array}]$

Étape 5

Multipliez

$[\begin{array}{c} \frac{8}{5} & \frac{4}{15} \\ - \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \end{array}] [\begin{array}{c} 2 \\ - 12 \end{array}]$ .

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Étape 5.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is

$2 \times 2$ and the second matrix is

$2 \times 1$ .

Étape 5.2

Multipliez chaque ligne dans la première matrice par chaque colonne dans la deuxième matrice.

$[\begin{array}{c} \frac{8}{5} \cdot 2 + \frac{4}{15} \cdot - 12 \\ - \frac{3}{5} \cdot 2 + \frac{2}{5} \cdot - 12 \end{array}]$

Étape 5.3

Simplifiez chaque élément de la matrice en multipliant toutes les expressions.

$[\begin{array}{c} 0 \\ - 6 \end{array}]$

Étape 6

Simplifiez les côtés gauche et droit.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ - 6 \end{array}]$

Étape 7

Déterminez la solution.

$x = 0$

$y = - 6$